Question

16．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}$AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE
有下列几个结论：①AE=EC；②∠CAE=30°；③AE平分∠BAC
（1）判断其中正确的结论有哪几个？
（2）选择两个你认为正确的结论说明理由．

Answer 1

分析 利用基本作图可得到ED垂直平分AC，则根据垂直平分线的性质可对①进行判断；根据等腰三角形的性质可对②进行判断；然后利用互余计算出∠CAB，则可得到∠BAE和∠CAE的度数，于是可对③进行判断．

解答 解：（1）三个结论都正确；
（2）由作图可得ED垂直平分AC，则AE=CE，所以①正确；
∴∠CAE=∠C=30°，所以②正确；
∵∠CAB=90°-∠C=60°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=60°-30°=30°，
∴AE平分∠BAC，所以③正确．

点评 本题考查了基本作图：掌握5个基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．