Question

15．如图，直线MN经过线段AC的端点，过点A作直线MN∥BD，点B，D分别在∠NAC和∠MAC的角平分线AE，AF上，BD交AC于点O．
（1）求证：OB=OD；
（2）若AD=5，AB=12，求OA的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形ABCD是矩形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据角平分线的性质得到∠CAE=∠NAE，然后根据MN∥BD得到∠OBA=∠NAB，从而得到∠OAB=∠OBA，利用等边对等角得到OA=OB，同理可得：OA=OD，进而证得结论：OB=OD；
（2）首先得到∠DAB=90°，然后利用勾股定理求得BD的长，从而利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半求得结论；
（3）由一对邻补角的平分线互相垂直得出∠FAE=90°，要想四边形ABCD是矩形，只需证明四边形ABCD是平行四边形．

解答 解：（1）证明：∵AE平分∠CAN，
∴∠CAE=∠NAE，
∵MN∥BD，
∴∠OBA=∠NAB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，
同理可得：OA=OD，
∴OB=OD；

（2）∵∠CAE=∠NAE，∠MAD=∠OAD，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵AD=5，AB=12，
∴BD=13，
∴OA=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{13}{2}$；

（3）O在AC的中点时，四边形ABCD是矩形．
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠FAC=$\frac{1}{2}$∠MAC，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAN，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠MAC+∠CAN）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是了解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．