Question

2．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是5．

Answer 1

分析 设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y²关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．

解答 解：作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN=y，PC=x，
根据题意得：GN=5，MG=10-2x，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN²=MG²+GN²，
即y²=5²+（10-2x）²．
∵0≤x≤10，
∴当10-2x=0，即x=5时，y²_最小值=25，
∴y_最小值=5．即MN的最小值为5；
故答案为：5．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．