Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，
都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，
在△ADQ和△ABQ中，，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）若△ADQ是等腰三角形，
则有①如图1，AQ=DQ时，点Q为正方形ABCD的中心，点B、P重合；

②如图2，AQ=AD时，根据等边对等角有∠ADQ=∠AQD，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC==4，
∴CQ=AC-AQ=4-4，
∵AD∥BC，
∴∠CPQ=∠ADQ，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CP=CQ=4-4，
此时点P在距离点B：4-（4-4）=8-4；

③如图3，AD=DQ时，点C、P、Q三点重合；
综上所述，当点P运动到①点B的位置；②在BC上，且到点B的距离为8-4处；③运动到点C的位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AD=AB，对角线平分一组对角可得∠DAQ=∠BAQ=45°，然后利用“边角边”证明△ADQ和△ABQ全等；
（2）分①AQ=DQ时，点B、P重合，②AQ=AD时，根据等边对等角可得∠ADQ=∠AQD，再求出正方形的对角线AC的长，再求出CQ，然后根根据两直线平行，内错角相等求出∠CPQ=∠ADQ，从而得到∠CQP=∠CPQ，根据等角对等边可得CP=CQ，从而得到点P的位置，③AD=DQ时，点C、P、Q三点重合．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，难度不大，（2）要注意分情况讨论．