Question

14．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M，点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）求证：△DME≌△CME；
（2）若∠MFC=120°，求∠BAM的度数；
（3）试猜想∠PMB与∠FCM有怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的性质得MD=MC，根据SSS即可证明，由可以用SAS进行证明．
（2）由△AMD≌△FMC得∠DAM=∠MFC=120°即可解决问题．
（3）结论：∠FCM=2∠PMB，由△AMD≌△FMC得∠ADM=∠FCM，由AD∥BC得∠ADM=∠DMC，再证明∠DME=∠CME即可．

解答 （1）证明：∵DE=EC，ME⊥CD，
∴MD=MC，
在△DME和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=MC}\\{ME=ME}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△CME．
（2）证明：在△AMD和△FMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FM}\\{MD=MC}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠DAM=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=90°，
∴∠MAB=∠MAD-∠DAB=30°．
（3）结论：∠FCM=2∠PMB．
理由：∵△AMD≌△FMC，
∴∠ADM=∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠DMC，
∴∠DMC=∠FCM，
∵MD=MC，ME⊥CD，
∴∠DME=∠CME，
∴∠FCM=2∠PMB．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相等垂直平分线的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．