Question

11．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，等腰直角△ADE中，∠AED=90°，AE＜AB，点E在△ABC内部，点F是CD的中点，猜想EF和BF的数量和位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 取AC的中点M，AD的中点N，连接BM、NF、NE、MF，由等腰直角三角形的性质得出NE⊥AD，NE=$\frac{1}{2}$AD，BM⊥AC，BM=$\frac{1}{2}$AC，由三角形中位线定理得出FM=$\frac{1}{2}$AD=NE，FM∥AD，NF=$\frac{1}{2}$AC=BM，NF∥AC，由平行线的性质得出∠1=∠DAC，∠2=∠DAC=∠1，证出∠ENF=∠FMB，由SAS证明△BMF≌△FNE，得出EF=BF，∠MBF=∠NFE，证出∠EFB=90°即可．

解答 解：EF=BF，EF⊥BF；理由如下：
取AC的中点M，AD的中点N，连接BM、NF、NE、MF，BM交NF于O，如图所示：
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴NE⊥AD，NE=$\frac{1}{2}$AD，BM⊥AC，BM=$\frac{1}{2}$AC，
∵点F是CD的中点，
∴FM、NF都是△ACD的中位线，
∴FM=$\frac{1}{2}$AD=NE，FM∥AD，NF=$\frac{1}{2}$AC=BM，NF∥AC，
∴∠1=∠DAC，∠2=∠DAC=∠1，
∵∠2+∠ENF=90°，∠1+∠FMB=90°，
∴∠ENF=∠FMB，
在△BMF和△FNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=FN}&{\;}\\{∠FMB=∠ENF}&{\;}\\{FM=NE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BMF≌△FNE（SAS），
∴EF=BF，∠MBF=∠NFE，
∵NF∥AC，BM⊥AC，
∴NF⊥BM，
∴∠MBF+∠BFO=90°，
∴∠NFE+∠BFO=90°，
∴∠EFB=90°，
即EF⊥BF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度较大，通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．