Question

2．如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”
（1）如图①，△ABD中，AB=AD，AD的垂直平分线l交BD于C，连结AC，求证：△ABC是倍角三角形；
（2）如图②，△ABC是倍角三角形，且∠ACB=2∠ABC．
①若AB=6，AC=4，求BC的长；
②设∠ACB的平分线交AB于D，若△ACD为等腰三角形，BC=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可证得；
（2）①证明△ABC∽△ACD，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
②分成CA=CD和AD=CD两种情况，利用相似三角形的性质求解．

解答 解：（1）∵AB=AD，
∴∠D=∠B，
∵l是AD的垂直平分线，
∴CD=CA，
∴∠D=∠DAC，
又∵∠ACB=∠D+∠DAC，
∴∠ACB=2∠B，则△ABC是倍角三角形；
（2）①如图②作∠ACB的平分线CD交AB于点D．
又∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠ACD=∠BCD=∠B，
又∵∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{BC}{CD}$，即$\frac{6}{4}$=$\frac{4}{AD}$，
∴AD=$\frac{8}{3}$，则BD=CD=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$．
∴$\frac{BC}{\frac{10}{3}}$=$\frac{6}{4}$，
解得：BC=5；
②如图③．
根据①可得：∠ACD=∠BCD=∠B，
设∠ACD=∠BCD=∠B=x°，则∠ADC=2x°，
当CA=CD时，∠A=∠ACB=2x°，则在△ABC中，2x+2x+x=180，
解得x=36．
则∠ACD=∠B，∠A=∠A，设CD=y，则AC=CD=BD=y．
则△ACD∽△ABC，$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{y}{2}$=$\frac{2-y}{y}$，
解得：y=$\sqrt{5}$-1；
当AD=CD时，∠A=∠ACD=∠BCD=∠B，
则∠A=∠B=45°，△ABC是等腰直角三角形，则CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质以及相似三角形的性质的判定与性质，正确对三角形进行讨论是关键．