Question

6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，猜想四边形ADCE的形状，并给予证明．

Answer 1

分析 根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=$\frac{1}{2}$（∠B+∠ACB），再由∠B=∠ACB，得∠MAE=∠B，则AN∥BC，根据CE⊥AN，得出四边形ADCE为矩形．

解答 证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=$\frac{1}{2}$∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．