解:(1)∵抛物线
与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),
∴当y=0时,
,解得x=3或x=﹣1。∴点B的坐标为(3,0)。
∵
,∴顶点D的坐标为(1,-4)。
(2)①如图,
∵抛物线
与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,-3)。
∵对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为(1,0)。
连接BC,过点C作CH⊥DE于H,则H点坐标为(1,﹣3),
∴CH=DH=1。
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°。
∴CD=
,CB=3
,△BCD为直角三角形。
分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R。
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,
∴∠CDB=∠QCO。∴△BCD∽△QOC。∴
。
∴OQ=3OC=9,即Q(﹣9,0).
∴直线CQ的解析式为
。
又直线BD的解析式为
,
由方程组
解得:
。
∴点P的坐标为(
,
)。
②(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时,
若点N在射线CD上,如图,
延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G.,
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE。∴
。∴MN=2CN。
设CN=a,则MN=2a。
∵∠CDE=∠DCF=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形。
∴NF=CN=a,CF=
a。∴MF=MN+NF=3a。∴MG=FG=
a。
∴CG=FG﹣FC=
a。
∴M(
a,
)。
代入抛物线
,解得a=
。,
∴M(
)。
若点N在射线DC上,如图,
MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G,
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,∴
。
∴MN=2CN。.
设CN=a,则MN=2a。
∵∠CDE=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形。,
∴NF=CN=a,CF=
a。
∴MF=MN﹣NF=a,∴MG=FG=
a。∴CG=FG+FC=
a。∴M(
a,
)。
代入抛物线
,解得a=
。
∴M(5,12)。
(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时,
∵∠CMN=∠BDE<45°,∴∠MCN>45°。
而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,∴点M不存在。
综上可知,点M坐标为(
)或(5,12)。
(1)解方程
,求出x=3或﹣1,根据抛物线
与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),确定点B的坐标为(3,0);将抛物线写成顶点式
,即可确定顶点D的坐标。
(2)①根据抛物线
,得到点C、点E的坐标.连接BC,过点C作CH⊥DE于H,由勾股定理得出CD=
,CB=3
,证明△BCD为直角三角形.分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R.根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC,则
,得出Q的坐标(﹣9,0),运用待定系数法求出直线CQ的解析式为
,直线BD的解析式为
,解方程组
,即可求出点P的坐标。
②分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧两种情况进行讨论:(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时,分点N在射线CD上和点N在射线DC上两种情况讨论;(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时,由于∠BDE<45°,得到∠CMN<45°,根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN>45°,而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,所以点M不存在。