Question

【题目】问题：已知△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，连结CD，在CD的上测作以CD为底边，α为底角的等腰△CDE，连结AE，试探究BD与AE的数量关系．
（1）尝试探究如图1，当α=60°时，小聪同学猜想有BD=AE，以下是他的思路呈现．请你根据他的思路把这个证明过程完整地表达出来；


（2）特例再探如图2，当α=45°时，请你判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；

（3）问题解决如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE的数量关系是 ． （用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

Answer 1

【答案】
（1）

解：BD=AE；∵∠BCA=60°，∠DCE=60°，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BDC与△AEC中， ，

∴△BDC≌△AEC，

∴BD=AE

（2）

解：BD= AE；理由如下：

过点D作DF∥AC，交BC于F．

∵DF∥AC，

∴∠ABC=∠DFB．

∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，

∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．

∴△DFB是等腰直角三角形

∴BD=DF= BF．

∵AE∥BC，

∴∠ABC+∠BAE=180°．

∵∠DFB+∠DFC=180°

∴∠BAE=∠DFC．

∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，

∴∠ADE=∠BCD．

∴△ADE∽△FCD．

∴ = ．

∵DF∥AC，

∴ = ．

∴ = = ，

∴BD= AE

（3）BD=2cosα?AE
【解析】解（3）∵∠ABC=∠ACB=∠EDC=∠ECD=α，
∴∠BCD=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BCD，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠BCD=∠ACE，∠ABC=∠ACB=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴ = ，
又∵ =cosα，
∴BD=2cosαAE．
所以答案是：BD=2cosαAE．