Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，其顶点为C，已知A、D两点的坐标分别为A（-1，0），D（0，3），
①求该抛物线的表达式；
②△AOD与△BCD是否相似？若相似请加以证明；若不相似，请说明理由．
③抛物线上有一动点P，点P在第一象限且在对称轴的右侧，问是否存在这样的点P，使四边形APCD的面积等于4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：①如图，∵A、D两点的坐标分别为A（-1，0），D（0，3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式是：y=-x²+2x+3；

②△AOD与△BCD相似．理由如下：假设△AOD与△BCD相似．
如图，连接AD．
∵A（-1，0），D（0，3），
∴OA=1，OD=3，AD=．
∵由①知，抛物线的解析式是y=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1）；
∴A（-1，0），B（3，0），对称轴x=1．
当x=1时，y=4，即C（1，4）．
∴BD=3，CD=，BC=2，
∴BC²=BD²+CD²，则∠CDB=90°．
又∵∠AOD=90°．
∴只有△AOD∽△BDC，或△AOD∽△CDB．
当△AOD∽△BDC时，=，而==，==，
∴≠，这与=相矛盾，
∴△AOD与△BDC不相似；
当△AOD∽△CDB时，=，而==，==，
∴=，
∴△AOD∽△CDB．
综上所述，△AOD与△BCD相似．
分析：①把点A、D的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
②根据二次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标，然后利用两点间的距离公式分别求得BD=3，CD=，BC=2，OA=1，OD=3，AD=．由勾股定理的逆定理推知∠CDB=90°．所以只有△AOD∽△BDC，或△AOD∽△CDB．则利用相似三角形的对应边成比例推知△AOD∽△CDB．
点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等．解答②题时，也可以利用三角函数的定义来证明△AOD与△BCD相似；