Question

如图，ABCD中，AC与BD的和为28，CD＝5．(1)求△COD的周长；(2)△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积相等吗？为什么？若ABCD的面积是56，则△AOB的面积等于多少？(3)△ACD与△BCD的面积相等吗？为什么？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由于在ABCD中 　　AO＝OC，BO＝OD，且AC＋BD＝28 　　所以：CO＋OD＝14 　　又因为CD＝5 　　所以：△COD的周长为19 　　(2)△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积相等．其理由是：ABCD中，BO＝DO，且△AOB与△AOD的边OB、OD上的高相同，都是AE(过A作AE⊥BD，点E是垂足)，所以 　　S△ABO＝S△ADO 　　用同样的方法，可得 　　S△ADO＝S△CDO＝S△BOC 　　即：S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD 　　亦即：△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积相等． 　　又由于SABCD＝56 　　所以：4S△AOB＝56 　　即：S△AOB＝14 　　亦即：△AOB的面积为14． 　　(3)方法一：由(2)可知S△AOD＝S△COD＝S△BOC 　　所以：S△AOD＋S△DOC＝S△BOC＋S△DOC 　　所以：S△ACD＝S△BCD 　　即：△ACD与△BCD的面积相等． 　　方法二：由于ABCD中AB∥CD， 　　所以：△ACD与△BCD的边CD上的高相等． 　　所以：S△ACD＝S△BCD 　　即：△ACD与△BCD的面积相等．

提示：

思路与技巧：(1)要求△COD的周长，一般思路是先求出CO、DO、CD这三条边的长(其中CD是已知的)，但本题中由已知条件(AC与BD的和为28以及CD＝5)，不难分别求出CO、OD的长．事实上我们可根据“平行四边形对角线互相干分”，再利用“整体思想”可求出CO＋OD，从而解决问题；(2)观察△AOB与△AOD，它们有相同的高，相等的底边(OB＝OD)，可得S△ABO＝S△ADO(注：S△ABO表示△ABO的面积，以下相同．)，依此类推：S△ADO＝S△CDO＝S△BCO；(3)两种思路：第一种思路是根据(2)中的结论：S△AOD＝S△COD＝S△BOC，可得到S△AOD＋S△COD＝S△BOC＋S△COD，即S△ACD＝S△BCD，第二种思路是观察到△ACD与△BCD有相同的底边CD，要说明二者面积相等，只需二者CD边上的高相等就可以了．事实上，这两条高恰好是两平行线AB与CD之间的距离，显然相等，故可以得到S△ACD＝S△BCD．