Question

（2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，则sin²30°+cos²30°=

1

；①
sin45°=

2

2

，cos45°=

2

2

，则sin²45°+cos²45°=

1

；②
sin60°=

3

2

，cos60°=

1

2

，则sin²60°+cos²60°=

1

．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=

1

．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=

3

5

，求cosA．

Answer 1

分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；
④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=1；
（1）过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=

BD

AB

，cosA=

AD

AB

，则sin²A+cos²A=

BD2+AD2

AB2

，再根据勾股定理得到BD²+AD²=AB²，从而证明sin²A+cos²A=1；
（2）利用关系式sin²A+cos²A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=

3

5

，进行求解．

解答：解：∵sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，
∴sin²30°+cos²30°=（

1

2

）²+（

3

2

）²=

1

4

+

3

4

=1；①
∵sin45°=

2

2

，cos45°=

2

2

，
∴sin²45°+cos²45°=（

2

2

）²+（

2

2

）²=

1

2

+

1

2

=1；②
∵sin60°=

3

2

，cos60°=

1

2

，
∴sin²60°+cos²60°=（

3

2

）²+（

1

2

）²=

3

4

+

1

4

=1．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=1．④
（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．
∵sinA=

BD

AB

，cosA=

AD

AB

，
∴sin²A+cos²A=（

BD

AB

）²+（

AD

AB

）²=

BD2+AD2

AB2

，
∵∠ADB=90°，
∴BD²+AD²=AB²，
∴sin²A+cos²A=1．

（2）∵sinA=

3

5

，sin²A+cos²A=1，∠A为锐角，
∴cosA=

1-( 3 5 )2

=

4

5

．

点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．