Question

设抛物线C的解析式为：y=x²-2kx+（

3

+k）k，k为实数．
（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；
（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标；试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；
（3）在第一象限有任意两圆O₁、O₂相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA＜OB），试问：

OA

OB

是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（4）已知一直线L₁与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线对称轴和顶点的公式即可得出本题的结论．
（2）根据（1）得出的顶点坐标（k，

3

k），可得出无论k取什么值，横坐标和纵坐标的比例关系是不变的，因此抛物线的顶点在正比例函数的图象上，且斜率为

3

．
（3）不难得出OA：OB正好是两圆的半径比，因此可通过求两圆半径的比例关系来求OA，OB的比例关系，如图，过O₁作O₂B的垂线，那么O₂H就是两圆的半径差，O₁O₂是两圆的半径和，可根据∠O₂O₁H的度数求出两圆的半径的比例关系，即可得出OA，OB的比例关系．
（4）由于直线l₁截的线段都相等，因此它必与（2）中求出的正比例的解析式平行，即斜率相等，要求直线l₁的解析式，需知道抛物线与y轴的交点坐标即b的值．为了简便，可设直线l₁与抛物线y=x²相交（原抛物线中k=0），可联立两函数式，可得出一个一元二次方程，方程的解即为两交点的横坐标，然后根据根与系数的关系，用b表示出两横坐标的和与积，进而可表示出两点的水平距离．然后根据直线与x轴的夹角的度数和两点的距离（已知了距离为6），可求出b的值，即可确定出直线l₁的解析式．

解答：解：（1）对称轴方程x=-

b

2a

=k，

4ac-b2

4a

=

4×( 3 +k)k

4

=

3

k，
∴顶点（k，

3

k），对称轴方程x=k．

（2）①k=1时，函数的顶点坐标为（1，

3

）；
②k=2时，函数的顶点坐标为（2，2

3

）；
③k=3时，函数的顶点坐标为（3，3

3

）．
得出L：y=

3

x，画出图象．

（3）依题意作出下图：
在L：y=

3

x上取一点（1，

3

）可得tan∠DOA=

3

1

=

3

，
即∠DOA=60°，
又O₁O₂在∠DOA的平分线上
∴∠AOO₁=∠HO₁O₂=30°，
设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为r₁、r₂，
由Rt△AOO₁∽Rt△HO₁O₂有

OA

OB

=

O1A

O1B

=

r1

r2

，
在Rt△O₁HO₂中，由sin30°=

HO2

O1O2

=

r2-r1

r2+r1

=

1

2

，
得r₂=3r₁，
把（2）代入（1）
得：

OA

OB

=

1

3

，即为定值．

（4）由题意，作图探索可知：
直线L₁应与L平行，即L₁与x轴正半轴的夹角为60°，从而可设L₁与y轴的交点坐标为（0，b），则与x轴的交点坐标为（-

3

3

b，0），
故L₁的方程为y=

3

x+b，
又由题意可设k=0得C中的一条抛物线y=x²，
设L₁与y=x²相交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MP⊥PN（如图），
联立

y=x2 y= 3 x+b

，
得x²-

3

x-b=0，
由韦达定理：x₁+x₂=

3

，x₁x₂=-b，
则|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

3+4b

=|MP|，
在Rt△MPN中，∠NMP=60°，
则cos60°=

|MP|

|MN|

=

3+4b

6

=

1

2

，
解得b=

3

2

，
∴求得的L₁的解析式为：y=

3

x+

3

2

．

点评：本题主要考查了二次函数的应用、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）．