Question

15．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0．
（1）则C点的坐标为（2，0）；A点的坐标为（0，4）．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S_△ODP=S_△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC=∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG=∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值即可；
（2）先得出CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根据S_△ODP=S_△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$进行计算即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0）；

（2）由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，
∴${S_{△DOP}}=\frac{1}{2}OP•{y_D}=\frac{1}{2}（2-t）×2=2-t$，${S_{△DOQ}}=\frac{1}{2}OQ•{x_D}=\frac{1}{2}×2t×1=t$，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1；

（3）$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$的值不变，其值为2．
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}=\frac{∠1+∠2+∠4+∠4}{∠1+∠4}=\frac{2（∠1+∠4）}{∠1+∠4}=2$．

点评 本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键值作辅助线构造平行线．解题时注意：任意一个数的绝对值都是非负数，算术平方根具有非负性，非负数之和等于0时，各项都等于0．