Question

17．如图，已知直线y=x+b（b≠0）与反比例函数y=$\frac{1}{x}$相交于点D，过点D作DE⊥x轴、DF⊥y轴，垂足分别为E，F．直线y=x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．则AD•BD=2．

Answer 1

分析 设D（x，y），由直线y=x+b可知∠ABO=45°，所以∴D=$\sqrt{2}$OF，BD=$\sqrt{2}$BF，从而可知AD•BD=2OF•BF．

解答 解：设D（x，y）
∴OF=y，
∵y=x+b中，k=1，
∴∠ABO=45°，
∴∠OAB=45°，
∴AD=$\sqrt{2}$OF，BD=$\sqrt{2}$BF，
∴AD•BD=2OF•BF，
∵令x=0代入y=x+b，
∴y=b，
∴B（0，b），
∴BF=y-b，
∴AD•BD=2y（y-b）=2（y²-by）
∵点D在直线y=x+b与y=$\frac{1}{x}$上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$
∴y²-yb=1，
∴AD•BD=2×1=2，
故答案为2

点评 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练根据直线y=x+b得出∠ABO=45°，本题属于中等题型．