Question

9．如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF、CF与OA交于点G．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：OD•EG=OG•EF；
（3）若AB=8，BD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；
（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；
（3）设OC=OD=r，在Rt△BOC中，根据OB²=OC²+BC²，列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴⊙O是AB的切线．

（2）证明：∵OA=OB，AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，
∴∠AOC=∠OEF，
∴OC∥EF，
∴△GOC∽△GEF，
∴$\frac{GO}{GE}$=$\frac{EF}{OC}$，∵OD=OC，
∴OD•EG=OG•EF．

（3）解：设OC=OD=r，
在Rt△BOC中，∵OB²=OC²+BC²，
∴（r+2）²=r²+4²，
∴r=3，
∴⊙O的半径为3．

点评 本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．