Question

如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E在AC边上（不与端点重合）．
（1）若AB=BC，且BD=DE，求证：DE是△ABC的中位线；
（2）若DE=BC，则结论“DE一定是△ABC的中位线”是否正确？若正确请证明；若不正确，请举出反例．

Answer 1

（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵点D是AB边的中点，
∴AD=BD，
又∵BD=DE，
∴AD=DE，
∴∠A=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线；

（2）结论不正确．
反例如下：如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C=70°，点D是AB边的中点，点F为AC边的中点，
∴DE=BC，且DF∥BC，
∴∠ADF=∠AFD=70°，
在∠ADF内部作∠FDE=40°，交线段AF于点E，
∴∠DEF=70°，
∴DE=DF，
∴DE=BC，但点E不是AC边的中点，
∴DE不是△ABC的中位线，
∴“当DE=BC时，DE是△ABC的中位线”这个结论不正确．
分析：（1）根据等边对等角的性质可得∠A=∠C，再根据中点的定义可得AD=BD，然后求出AD=DE，再根据等边对等角的性质得到∠A=∠AED，从而推出∠AED=∠C，根据同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，然后证明△ADE和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出E为AC的中点，从而得证；
（2）可以举反例，先作出等腰三角形平行于底边的中位线DF，再过一腰的中点向另一腰作等于顶角的角得到与中位线相等的线段DE，从而得到证明．
点评：本题考查了三角形的中位线定理的证明，相似三角形的判定与性质，以及反证法，熟练掌握中位线的定义，关键在于利用已知条件证明另一点E是AC边的中点．