Question

已知二次函数y=mx²-（m-1）x-1．（m≠0）
（1）求证：这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）若这个二次函数有最大值0，求m的值；
（3）我们定义：若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴的两个交点的横坐标x₁、x₂（x₁＞x₂），满足-6＜

x1

x2

＜6，则称这个二次函数与x轴有两个“规范交点”．如果二次函数y=mx²-（m-1）x-1与x轴有两个“规范交点”，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出b²-4ac的值，进而配方求出其符号，进而得出答案；
（2）对于y=mx²-（m-1）x-1，由顶点坐标公式可知，当x=

m-1

2m

时，y有最值-

(m+1)2

4m

，进而得出m的值；
（3）首先求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标，进而得出①当-1＜m＜0时，②当m＜-1时，得出m的准确取值．

解答：解：（1）∵y=mx²-（m-1）x-1，
∴b²-4ac=[-（m-1）²]-4m×（-1），
=m²-2m+1+4m=（m+1）²≥0．
∴二次函数的图象一定与x轴有交点．

（2）对于y=mx²-（m-1）x-1，由顶点坐标公式可知，当x=

m-1

2m

时，
y有最值-

(m+1)2

4m

，
∵二次函数有最大值0，∴m=-1．

（3）∵y=mx²-（m-1）x-1=（mx+1）（x-1），该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（1，0）和（-

1

m

，0），且m≠-1．
由定义知“规范交点”应该位于x轴的正半轴，∴-

1

m

＞0，解得m＜0．
①当-1＜m＜0时，-

1

m

＞1，∴

x1

x2

=-

1

m

．
当-6＜-

1

m

＜6时，有6＞

1

m

＞-6，∴-1＜m＜-

1

6

．
②当m＜-1时，1＞-

1

m

，∴

x1

x2

=-m．
当-6-m＜6时，有6＞m＞-6，∴-6m＜-1．
由①、②知，当-6＜m＜-1或-1＜m＜-

1

6

时，二次函y=mx²-（m-1）x-1与x轴都有两个“规范交点”．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及新定义和一元二次方程根的判别式等知识，利用分段函数讨论得出m的取值范围是解题关键．