Question

如图，点A在⊙O上，⊙O的直径为8，∠B=30°，∠C=90°，AC=8．将△ABC从AC与⊙O相切于点A的位置开始，绕着点A顺时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜120°），旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF．当BC与⊙O相切时，①旋转角β=________度；②△AEF的面积为________．

Answer 1

90    8
分析：根据切线的性质，可以判断当BC与⊙O相切时切点一定是C旋转以后的对应点C′，AC′是圆的直径，即可求得旋转角，进而可以确定△AEF的位置，即可求解△AEF的面积．
解答：解：设旋转以后BC与⊙O相切于点H，则连接OH，OA，则OH⊥BC，则OA=OH=4，AC=8，因而OA+OH=AC，
则H一定与C重合．
故当BC与⊙O相切时切点一定是C旋转以后的对应点C′，AC′是圆的直径．
E就是点C′，
∵AC是切线，
∴∠CAA′=90°，即β=90°．
在直角△AC′F中，∠FAC′=60°，则AF=AC′=4，
FC′=AC′=4，
则△AFC′的面积即△AEF的面积等于：AF•FC′=×4×4=8．
故答案是：90，8．
点评：本题考查了切线的性质，以及解直角三角形，正确判断当BC与圆相切时，切点的位置是关键．