Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且EF=PF，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）E为AB中点，则横坐标、纵坐标分别为3，1，故坐标为（3，1）；由A落在F处，则BF=AB=3，所以横坐标、纵坐标分别为1，2，故坐标为（1，2）．
（2）因为FP=EF且图中并无已知位置，所以画圆是找全所有情况的最好办法，发现y轴上存在两点P，使得FP=EF，进一步根据三角形性质可得到坐标，但要考虑题目中对P点的要求对最后结果进行取舍．求抛物线解析式通常采用的方法为待定系数法，注意题中已知F为顶点，故利用顶点式设抛物线解析式求解过程会简单很多．
（3）四边形周长最小我们基本没有接触过，但是周长中其中EF固定，那么周长最小就转化为三段折现最短，恰起止两点已经固定，这是我们在学对称轴时常见的画图找最短路径题目，即利用两次对称点性质将问题转化为两个点间路径最短的问题，则N、M两点易找到，进而最短周长易求．

解答：解：
（1）E（3，1），F（1，2）．

（2）

如图1，以点C为圆心，BF为半径画弧交y轴于P，P'，连接EF，FP，FP'．
∵CF⊥PP'，CP=CP'
∴F在PP'的垂直平分线上，
∴FP=FP'．
在△FCP和△EBF中，

FC=EB=1 ∠FCP=EBF CP=BF

，
∴△FCP≌△EBF，
∴FP=EF，CP=BF，
∴FP=FP'=EF，CP=CP'=BF=2，
∴P（0，4），P'（0，0）（此点不在y的正半轴上，舍去），
∵F（1，2）为抛物线顶点，
∴设抛物线解析式y=a（x-1）²+2，
∴代入P（0，4），解得a=2，y=2（x-1）²+2=2x²-4x+4．

（3）

如图2，作E点关于x轴的对称的E'，做F点关于y轴的对称的F'，连接E'F'交x轴，y轴分别为M，N，连接EF，EM，FM．
∵NF=NF'，EM=E'M，
∴C_{四边形NMEF}=FM+NM+ME+FE=NF'+NM+ME'+EF=E'F'+EF，
根据两点间线段最短得，此时C_{四边形NMEF}最小．
∵E（3，1），F（1，2），
∴E'（3，-1），F（-1，2），
∴BF'=4，BE'=3，
∴根据勾股定理，E'F'=5，
∵EF=

5

，
∴当C_{四边形NMEF}最小时，C_{四边形NMEF}=E'F'+EF=5+

5

．

点评：本题考查了三角形性质，待定系数求抛物线解析式及路径最短等基础知识，数据不复杂，难度也适中，是一道非常值得学生巩固练习的题目．