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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=24cm，AC=16cm，点P从点B出发，沿BA边以4cm/秒的速度移动到点A；点Q从点C出发，沿CA边以2cm/秒的速度向点A移动．P、Q两点同时出发，设运动的时间为t（0≤t≤6）秒．
    （1）已知QD⊥AB，垂足为D．
    ①用含t的代数式表示QD=
    （8-t）
    （8-t）
    cm；
    ②当△APQ的面积是△ABC面积的一半时，求t的值；
    （2）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，求t的值．
    分析：（1）由Q的运动速度可求出t时间内Q运动的路程，进而求出AQ的长，再根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半即可求出QD的长度；
    （2）连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=
    1
    2
    AC=8cm，依题意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，当S△APQ=
    1
    2
    S△ABC时，即
    1
    2
    AP×DQ=
    1
    2
    ×AB×CE，进而求出符合题意的t值；
    （3）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，则△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出符合题意的t值．
    解答：解：（1）∵点Q从点C出发，沿CA边以2cm/秒的速度向点A移动，
    ∴t时的运动路程为2t，
    ∴CQ=2tcm，
    ∴AQ=AC-CQ=（16-2t）cm，
    ∵∠A=30°，QD⊥AB，垂足为D，
    ∴QD=
    1
    2
    AQ=（8-t）cm；

    （2）连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=
    1
    2
    AC=8cm，
    依题意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，
    当S△APQ=
    1
    2
    S△ABC时，
    1
    2
    AP×DQ=
    1
    2
    ×AB×CE，
    1
    2
    （24-t）（8-t）=
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×24×8，
    整理得，t2-14t+24=0，
    解得：t1=2，t2=12，（不合题意，舍去），
    即当t=2时，△APQ的面积是△ABC面积的一半；

    （3）当△APQ∽△ABC时，则有
    AQ
    AC
    =
    AP
    AB

    即：
    16-2t
    16
    =
    24-4t
    24
    ，
    解得：t=0（不合题意，舍去）；
    当△APQ∽△ACB时，则有
    AQ
    AB
    =
    AP
    AC
    ，
    即：
    16-2t
    24
    =
    24-4t
    16
    ，
    解得t=5，
    综上所述：t=5时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）．
    故答案为：（8-t）．
    点评：本题考查了和几何图形有关的运动问题、直角三角形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想的运用，题目很好的考查了学生综合解题的能力，题目难度中等．
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    （　　）
    A、
    1
    2
    B、（
    		2
    2
    ）7
    C、
    1
    4
    D、
    1
    8

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