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已知:如图①,正方形ABCD的边长是a,正方形AEFG的边长是b,且点F在AD上,连接DB,BF,(以下问题的结果可用a,b表示).
(1)观察计算:△DBF的面积S=
 

(2)图形变式:
将图①中的正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转45°得到图②,其他条件不变,请你求出图②中△DBF的面积S;
(3)探究发现:
当a>2b时,若把图①中的正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,△DBF的面积S是否能达到最大值、最小值?如果能达到,请画出图形,并求出最大值、最小值;如果达不到,请说明理由.(图③可用来画图).
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分析:(1)根据DF=AD-AF,求三角形的底边DF,高为AB,根据三角形的面积公式计算;
(2)由正方形的性质可知AF∥BD,则△BDF与△BDA同底等高,根据S△DBF=S△DBA求面积;
(3)如图,在正方形ABCD外作正方形AEFG,此时,OF值最大,在正方形ABCD内作正方形AEFG,此时,OF最小,而BD=
2
a,分别计算OF的最大、最小值,求△DBF的面积的最大值、最小值.
解答:解:(1)∵AEFG是正方形,且边长是b,
∴Rt△AEF中,由勾股定理可求AF=
2
b,
∴DF=a-
2
b,
∴S△DBF=
1
2
DF•AB=
1
2
(a-
2
b)a=
1
2
a2-
2
2
ab;

(2)∵BD和AF分别是正方形ABCD与AEFG的对角线,
∴∠DBA=∠FAG=45°.
∴BD∥AF
∴S△DBF=S△DBA
又∵S△DBA=
1
2
BA•AD=
1
2
a2
∴S△DBF=
1
2
a2
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(3)当a>2b时,存在最大值和最小值.
∵△BDF的底边BD=
2
a

∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时,S△DBF取得最大值、最小值.
当点C、A、F三点在同一直线上时,如图③,
连接BF、DF,
S△DBF的最大值=
2
2
a(
2
2
a+
2
b)=
1
2
a2+ab,
S△DBF的最小值=
2
2
a(
2
2
a-
2
b)=
1
2
a2-ab.
点评:本题考查了旋转的性质的运用,正方形的性质.关键是通过旋转确定三角形的底和高,发现三角形底和高的最大值和最小值.
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23、已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:BE=DF;
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(1)求证:△EBC∽△EHP;
(2)设BE=x,BP=y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;
(3)当BG=
74
时,求BP的长.

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DG
DP
=
2
;④
AP2+QC2
PQ2
=
2
.其中正确的是(  )
A、①②③④B、①②③
C、①②④D、①③④

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已知:如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为边BC延长线上一点,连接DE,BF⊥DE,垂足为点F,BF与边CD交于点G,连接EG.设CE=x.
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(2)当BG=2
5
时,求△AEG的面积;
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