Question

【题目】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AB+AC=2AE．

【解析】试题分析：（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，根据角平分线的判定可得AD平分∠BAC；

（2）BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE．

试题解析：

解：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E＝∠DFC＝90°，

∴△BDE与△CDE均为直角三角形，

∵ ，

∴△BDE≌△CDF，

∴DE＝DF，

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴AD平分∠BAC；

（2）AB＋AC＝2AE．

理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠CAD，

∵∠E＝∠AFD＝90°，

∴∠ADE＝∠ADF，

在△AED与△AFD中，

∵ ，

∴△AED≌△AFD，

∴AE＝AF，

∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE．