Question

2．若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，下列说法正确的是①③
①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；
②若方程两根为-1和3，则3a+2c=0；
③若方程ax²+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实数根；
④若a=1，c=-1，且方程的两根的平方和为6，则b只能等于2．

Answer 1

分析 ①a+b+c=0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b²-4ac的值的符号就可以了；
④利用根与系数的关系求出b的值即可．

解答 解：①若a+b+c=0，方程ax²+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b²-4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，-1×3=$\frac{c}{a}$，整理得：3a+c=0，错误；
③若方程ax²+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，可知b²-4ac＞0，故方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确；
④若a=1，c=-1，则x₁+x₂=-b，x₁x₂=-1，代入x_1²+x_2²=6，则b=±2，错误．
故答案为①③．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．