Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F事直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为15？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得FG的长，根据面积的和差，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）点A（-2，0）与点B关于x=1对称，得
B（4，0）．
将A，B，C代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）不存在点F，使四边形ABFC的面积为15，理由如下：
如图1，
AC的解析式为y=-x+4，
设F点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），G（m，-m+4），
FG的长为（-$\frac{1}{2}$m²+m+4）-（-m+4）=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
S_{四边形ABFC}=S_△ABC+S_△ABF
=$\frac{1}{2}$AB•x_C+$\frac{1}{2}$FG•（x_B-x_A）
=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}$m²+2m）=15，
化简，得
2m²-4m+3=0，
∵△=b²-4ac=16-4×2×3=-8＜0，
方程无解，
∴P点不存在；

（3）当x=1时，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=$\frac{9}{2}$，即D（1，$\frac{9}{2}$）
当x=1时，-x+4=3，即E（1，3），
DE=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$．
AC的解析式为y=-x+4，
设Q点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），P（m，-m+4），
QP的长为|（-$\frac{1}{2}$m²+m+4）-（-m+4）|=|-$\frac{1}{2}$m²+2m|．
由PQ∥DE，PQ=DE，得
|-$\frac{1}{2}$m²+2m|=$\frac{3}{2}$．
-$\frac{1}{2}$m²+2m=$\frac{3}{2}$，或）-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{3}{2}$，
解得m₁=1舍，m₂=3，m₃=2+$\sqrt{7}$，m₄=2-$\sqrt{7}$．
P点坐标为（3，1）（2+$\sqrt{7}$，2-$\sqrt{7}$）（2-$\sqrt{7}$，2+$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出关于m的方程；解（3）的关键是利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程，又利用了自变量与函数值的对应关系．