Question

4．如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边AC，AB分别切于C、D两点，与边AC交于点E，弦$\widehat{CF}$与AB平行，与DO的延长线交于M点．
（1）求证：点M是CF的中点；
（2）若E是$\widehat{DF}$的中点，连结DF，DC，试判断△DCF的形状；
（3）在（2）的条件下，若BC=a，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可知，只要证明OM⊥CF即可解决问题；
（2）结论：△DFC是等边三角形．由点M是CF中点，DM⊥CF，推出DE=DF，由E是$\widehat{DF}$中点，推出DC=CF，推出DC=CF=DF，即可；
（3）只要证明△BCD是等边三角形，即可推出∠B=60°，∠A=30°，在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，可得OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∵CF∥AB，
∴∠OMF=∠ODB=90°，
∴OM⊥CF，
∴CM=MF．

（2）解：结论：△DFC是等边三角形．
理由：∵点M是CF中点，DM⊥CF，
∴DE=DF，
∵E是$\widehat{DF}$中点，
∴DC=CF，
∴DC=CF=DF，
∴△DCF是等边三角形．

（3）解：∵BC、BD是切线，
∴BC=BD，
∵CE垂直平分DF，
∴∠DCA=30°，∠DCB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B=60°，∠A=30°，
在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，
∴OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴AE=OA-OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题考查切线的性质、等边三角形的判定和性质、垂径定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．