Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax²+bx上运动，斜边AB垂直于y轴，且AB=4，∠CAB=60°．当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时，点A坐标是（-

3

2

，0），B点恰在抛物线y=ax²+bx上．
（1）求AB边上的高线CD的长；
（2）求抛物线解析式；
（3）Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当左右两部分的面积相等时，求顶点C的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠B=∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AD，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）根据点A的坐标和AB的长度求出点B的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设AB、BC与y轴的交点分别为E、F，然后利用三角形的面积求出BE，再表示出DE，从而得到点C的横坐标，再根据点C在抛物线上，把点C的横坐标代入抛物线求解得到点C的纵坐标即可得解．

解答：解：（1）∵∠CAB=60°，CD是斜边AB上的高，
∴∠B=∠ACD=90°-60°=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
AD=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
在Rt△ACD中，CD=

AC2-AD2

=

22-12

=

3

；

（2）∵点A坐标是（-

3

2

，0），AB=4，
∴点B的坐标为（

5

2

，0），
点C的横坐标为-（

3

2

-1）=-

1

2

，
∴点C的坐标为（-

1

2

，

3

），
∵点B（

5

2

，0），C（-

1

2

，

3

）都在抛物线y=ax²+bx上，
∴

25 4 a+ 5 2 b=0 1 4 a- 1 2 b= 3

，
解得

a= 2 3 3 b=- 5 3 3

，
所以，抛物线解析式为y=

2 3

3

x²-

5 3

3

x；

（3）如图，设AB、BC与y轴的交点分别为E、F，
则EF=BE•tanB=

3

3

BE，
∵Rt△ABC被y轴分成两部分，
∴

1

2

BE•EF=

1

2

×

1

2

AB•CD，
即

1

2

BE•

3

3

BE=

1

2

×

1

2

×4×

3

，
解得BE=

6

，
又∵BD=AB-AD=4-1=3，
∴点C的横坐标为-（3-

6

）=-3+

6

，
∵点C在抛物线y=

2 3

3

x²-

5 3

3

x上，
∴y=

2 3

3

×（-3+

6

）²-

5 3

3

×（-3+

6

），
=

2 3

3

×（9-6

6

+6）+5

3

-5

2

，
=10

3

-12

2

+5

3

-5

2

，
=15

3

-17

2

，
所以，点C的坐标为（-3+

6

，15

3

-17

2

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，勾股定理的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，（2）表示出点C的横坐标是解题的关键，（3）难点在于利用三角形的面积求出点B到y轴的距离，即BE的长度．