Question

已知如图，在△ABC中，AB=AC． D，E，F分别在AB，BC，CA上，且DE=EF=FD．
求证：∠DEB=（∠ADF+∠CFE）．

Answer 1

证明：∵AB=AC，DE=EF=FD，
∴∠B=∠C，∠EDF=∠DEF=∠DFE=60°，
设∠B=∠C=β，∠DEB=α，
∴∠BDE=180°-α-β，
∴∠ADF=180°-∠BDE-∠DEF=180°-（180°-α-β）-60°=α+β-60°，
∵∠CEF=180°-α-60°=120°-α，
∴∠CFE=180°-（120°-α）-β=60°+α-β，
∴∠ADF+∠CFE=α+β-60°+60°+α-β=2α=2∠DEB，
∴∠DEB=（∠ADF+∠CFE）．
分析：根据已知可得到几组相等的角，设∠B=∠C=β，∠DEB=α，根据三角形内角和公式可分别表示出∠BDE，∠ADF，∠CEF，∠CFE，从而不难证得结论．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质及三角形外角的性质的综合运用．