Question

19．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：
①GH⊥BE；②BG=EG；③△MFG为等腰三角形；④DE：AB=1+$\sqrt{2}$，
其中正确结论的序号为①②③．

Answer 1

分析 证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG=90°，则HG⊥BE，然后证明△BGH≌△EGH，则H是BE的中点，则OH是△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可得到HO=$\frac{1}{2}$BG，HO∥BG，以及∠MOH=∠EGC=45°，再根据等腰直角三角形的性质，得出OF=$\frac{1}{2}$EG，∠OFG=45°，以及OH=OF，根据∠MHO+∠HOM=∠OFH+∠OFG，即可得出∠FMG=∠MFG，最后根据等腰直角三角形的边角关系，得出DB：AB=$\sqrt{2}$：1，即可得到DE：AB=$\sqrt{2}$：1．

解答 解：∵正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，
∴∠BCE=∠DCG=90°，BC=DC，EC=GC，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠CGD=∠CEB，
又∵∠CDG=∠HDE，
∴∠EHD=∠GCD=90°，
∴GH⊥BE，故①正确；

∵∠EGC的平分线GH过点D，
∴∠BGH=∠EGH，
∵GH⊥BE，
∴∠BHG=∠EHG=90°，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BG=EG，故②正确；

∵BG=EG，GH⊥BE，
∴H为BE的中点，
又∵O是EG的中点，
∴HO是△BEG的中位线，
∴HO=$\frac{1}{2}$BG，HO∥BG，
∴∠MOH=∠EGC=45°，
如图，连接FO，
∵O是EG的中点，
∴等腰Rt△EFG中，OF=$\frac{1}{2}$EG，∠OFG=45°，
∴OH=OF，
∴∠OHF=∠OFH，
∴∠MHO+∠HOM=∠OFH+∠OFG，即∠FMG=∠MFG，
∴FG=MG，即△MFG是等腰三角形，故③正确；

如图，连接BD，
∵HG垂直平分BE，
∴DE=DB，
∵Rt△ABD中，DB：AB=$\sqrt{2}$：1，
∴DE：AB=$\sqrt{2}$：1，故④错误；
故答案为：①②③

点评 本题主要考查了四边形的综合应用，解题时需要综合运用正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的判定等，解题的关键是作辅助线构造等腰三角形和等腰直角三角形，灵活利用直角三角形的边角关系来计算．