Question

14．如图，正方形ABCD的边长为1，AC为其对角线，点E为AC上一点且满足CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，则DF的长度为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 连接FC，证明Rt△EFC≌Rt△DFC得：EF=FD，由勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$，设DF=x，在Rt△AEF中，根据勾股定理列方程：（1-x）²=（$\sqrt{2}$-1）²+x²，求出x的值即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC=1，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵CE=CD=1，
∴AE=AC-CE=$\sqrt{2}$-1，
设DF=x，
连接CF，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
在Rt△EFC和Rt△DFC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{FC=FC}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFC≌Rt△DFC（HL），
∴EF=FD=x，
∴AF=AD-DF=1-x，
在Rt△AEF中，∵AF²=AE²+EF²，
∴（1-x）²=（$\sqrt{2}$-1）²+x²，
x=$\sqrt{2}$-1，
∴DF=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了正方形的性质，熟知正方形的各角为直角，各边相等是关键；在正方形的题中，可以设所求边长为x，利用勾股定理列方程求解．