Question

1．写出图中3个三角形的面积S₁、S₂、S₃之间的关系，并给出证明．

Answer 1

分析 设三个半圆的直径分别为：d₁、d₂、d₃，半圆的面积=$\frac{1}{2}$π×（$\frac{直径}{2}$）²，将d₁、d₂、d₃代入分别求出S₁、S₂、S₃，由勾股定理可得：d₁²+d₂²=d₃²，观察三者的关系即可，进而利用正方形以及等边三角形的性质分别求出各部分面积得出答案．

解答 解：如图①：设三个半圆的直径分别为：d₁、d₂、d₃，
S₁=${\;}^{\frac{1}{2}}$×π×（$\frac{{d}_{1}}{2}$）²=$\frac{{d}_{1}^{2}}{8}$π，
S₂=$\frac{1}{2}$×π×（$\frac{{d}_{2}}{2}$）²=$\frac{{d}_{2}^{2}}{8}$π，
S₃=$\frac{1}{2}$×π×（$\frac{{d}_{3}}{2}$）²=$\frac{{d}_{3}^{2}}{8}$π．
由勾股定理可得：
d₁²=d₂²+d₃²，
∴S₃+S₂=$\frac{π}{8}$（d₃²+d₂²）=$\frac{{d}_{1}^{2}}{8}$π=S₁，
所以，S₁、S₂、S₃的关系是：S₃+S₂=S₁．
如图②：设AC=b，BC=a，AB=c，
则S₂=a²，S₃=b²，S₁=c²，
又∵a²+b²=c²，
∴S₁、S₂、S₃的关系是：S₃+S₂=S₁．

如图③：设AC=b，BC=a，AB=c，
则S₂=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S₃=$\frac{1}{2}$×b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，
S₁=$\frac{1}{2}$×c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
又∵a²+b²=c²，
∴S₁、S₂、S₃的关系是：S₃+S₂=S₁．

点评 本题主要考查了运用勾股定理结合图形求面积之间的关系，关键在于根据题意找出直角三角形，运用勾股定理求出三个半圆的直径之间的关系．