Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-3），与x轴交于A，B两点，A（-1，0）。

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-3， 将A（-1，0）代入：0=a（-1-1）2-3， 解得a=， 所以，抛物线的解析式为y=（x-1）2-3，即； （2）是定值，， ∵AB为直径， ∴∠AEB=90°， ∵PM⊥AE， ∴PM∥BE， ∴△APM∽△ABE， ∴， 同理：， ①+②： （3）∵直线EC为抛物线对称轴， ∴EC垂直平分AB， ∴EA=EB， ∵∠AEB=90°， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴∠EAB=∠EBA=45°， 如图，过点P作PH⊥BE与H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， ∴PH=ME且PH∥ME， 在△APM和△PBH中， ∵∠AMP=∠PBH=90°，∠EAB=∠BPH=45°， ∴PH=BH，且△APM∽△PBH， ∴， ∴， 在△MEP和△EGF中， ∵PE⊥FG， ∴∠FGE+∠SEG=90°， ∵∠MEP+∠SEG=90°， ∴∠FGE=∠MEP， ∵∠PME=∠FEG=90°， ∴△MEP∽△EGF， ∴， 由①、②知：。