Question

1．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求△BCD的面积．
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并直接写出当x在什么范围内时，
一次函数的值小于二次函数的值．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，把A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点坐标代入解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=5}\end{array}\right.$，解方程组即可．
（2）首先求出点D坐标，求出直线BC的解析式，求出直线BC与x轴的交点H坐标，根据S_△BCD=S_△DHC+S_△DHB计算即可．
（3）先求出直线与抛物线的交点坐标，根据一次函数的图象在二次函数的图象下方，即可写出自变量的取值范围．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点坐标代入解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1．

（2）对于抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，令y=0，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=0，解得x=2或-1，
∴另一个交点为D坐标为（-1，0），
∵直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-1，令y=0，得x=$\frac{2}{3}$，
设直线BC与x轴交于点H，则H（$\frac{2}{3}$，0），
∴S_△BCD=S_△DHC+S_△DHB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×5+$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×1=5．

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，
由图象可知，x＜-1或x＞4时，一次函数的值小于二次函数的值．

点评 本题考查二次函数与不等式、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会利用好像图象，解决实际问题，属于中考常考题型．