Question

如图（1），四边形ABCD内部有一点P，使得S_△APD+S_△BPC=S_△PAB+S_△PCD，那么这样的点P叫做四边形ABCD的等积点．
（1）如果四边形ABCD内部所有的点都是等积点，那么这样的四边形叫做等积四边形．
①请写出你知道的等积四边形：

 

，

 

，

 

，

 

，（四例）
②如图（2），若四边形ABCD是平行四边形且S_△ABP=8，S_△APD=7，S_△BPC=15，则S_△PCD=

 

．
（2）如图（3），等腰梯形ABCD，AD=4，BC=10，AB=5，直线l为等腰梯形的对称轴，分别交AD于点E，交BC于点F．
①请在直线l上找到等腰梯形的等积点，并求出PE的长度．
②请找出等腰梯形ABCD内部所有的等积点，并画图表示．

Answer 1

分析：（1）①过O作EF⊥BC于F，交AD于E，根据平行四边形的性质和 三角形的面积求出S_△OAD+S_△OBC=

1

2

S_{平行四边形ABCD}即可；②根据已知公式代入求出即可；
（2）①作AR⊥BC于R，DT⊥BC于T，根据勾股定理求出AR，计算等腰梯形的面积，根据已知得到∴

1

2

×AD×PE+

1

2

×BC×（4-PE）=14，求出即可；②根据求出的PE=2，计算PF=PE=2，根据梯形的中位线定理即可得到答案．

解答：（1）①解
过O作EF⊥BC于F，交AD于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥AD，
∴S_△OAD+S_△OBC=

1

2

×AD×OE+

1

2

×BC×OF=

1

2

BC×EF=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，
同理S_△OAB+S_△OCD=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，
∴S_△OAB+S_△OCD=S_△OAD+S_△OBC，
∴平行四边形ABCD符合条件，
同理：正方形、矩形、菱形都符合，
故答案为：正方形、矩形、菱形、平行四边形．

②解：∵四边形ABCD是平行四边形且S_△ABP=8，S_△APD=7，S_△BPC=15，
∴S_△PCD+S_△PAB=S_△PAD+S_△PBC，
∴S_△PCD=7+15-8=14，
故答案为：14．

（2）①解：作AR⊥BC于R，DT⊥BC于T，
∵等腰梯形ABCD，
∴BR=TC=

1

2

（BC-AD）=3，
由勾股定理得：AR=DT=

AB2-BR2

=4，
∴等腰梯形ABCD的面积是

1

2

×（AD+BC）×AR=

1

2

×（4+10）×4=28，
∴S_△PAD+S_△PBC=

1

2

×28=14，
∴

1

2

×AD×PE+

1

2

×BC×（4-PE）=14，
解得：PE=2，
答：PE的长是2．

②解过P作HK∥AD交AB于H，交CD于K，
即作等腰梯形的中位线HK，
则等腰梯形ABCD内部所有的等积点是线段HK上任意一点都符合（端点H、K除外），如图．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积，三角形的中位线定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．