已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A.C两点.与y轴交于点B.A.C两点的坐标分别为．(1)求此抛物线的函数关系式,(2)动点Q从点A出发.以每秒3个单位长度的速度在线段AC上向终点C运动.同时动点M从O点出发以每秒2个单位长度的速度在线段OB上向终点B运动.当其中一个点到达终点时.另一个点即停止运动.过点Q作x轴的垂线交抛物线于点P.设运动的时间为t秒� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，A、C两点的坐标分别为（-3，0）（1，0）．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在线段AC上向终点C运动，同时动点M从O点出发以每秒2个单位长度的速度在线段OB上向终点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点即停止运动，过点Q作x轴的垂线交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当四边形OMPQ是矩形，求满足条件的t的值；
②连结QM、BC，当△QOM与以点O、B、C为顶点的三角形相似时，t的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{9}{11}$或$\frac{9}{7}$．

分析（1）根据抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、C两点，A、C两点的坐标分别为（-3，0）（1，0），可以求得抛物线的解析式；
（2）①根据四边形OMPQ是矩形，可知点P的纵坐标等于点M的纵坐标，从而可以求得相应的t的值；
②根据已知条件可知两个三角形相似时，存在三种情况，然后画出相应的图形，分类进行解答解可．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、C两点，A、C两点的坐标分别为（-3，0）（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴抛物线的函数关系式为：y=-x²-2x+3；
（2）①当四边形OMPQ是矩形时，
∵由题意可得，点Q的坐标为（-3+3t，0），点M的坐标为（0，2t），点P在y=-x²-2x+3上，PQ⊥x轴，
∴点P的坐标为（-3+3t，-（-3+3t）²-2（-3+3t）+3），
∴-（-3+3t）²-2（-3+3t）+3=2t，
解得，t=0或t=$\frac{10}{9}$，
故当四边形OMPQ是矩形时，t的值为$\frac{10}{9}$；
②连结QM、BC，当△QOM与以点O、B、C为顶点的三角形相似时，存在三种情况，
第一种情况，当∠OQM=∠OBC，∠QOM=∠BOC时，如下图一所示，

由已知可得，点Q的坐标为（-3+3t，0），点M的坐标为（0，2t），点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3）
则OQ=3-3t，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OBC，∠QOM=∠BOC，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OB}=\frac{OM}{OC}$，
即$\frac{3-3t}{3}=\frac{2t}{1}$，
解得，t=$\frac{1}{3}$；
第二种情况，当∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，如下图二所示，

由已知可得，点Q的坐标为（-3+3t，0），点M的坐标为（0，2t），点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3）
则OQ=3-3t，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OC}=\frac{OM}{OB}$，
即$\frac{3-3t}{1}=\frac{2t}{3}$，
解得，t=$\frac{9}{11}$；
第三种情况，当∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，如下图三所示，

由已知可得，点Q的坐标为（-3+3t，0），点M的坐标为（0，2t），点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3）
则OQ=3t-3，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OC}=\frac{OM}{OB}$，
即$\frac{3t-3}{1}=\frac{2t}{3}$，
解得，t=$\frac{9}{7}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$或$\frac{9}{11}$或$\frac{9}{7}$．

点评本题考查二次函数综合题、求二次函数的解析式、矩形的性质、三角形的相似、分类讨论的数学思想，解题的关键是明确题意，会求二次函数的解析式，根据矩形的性质，利用数形结合的思想解答相关问题，利用三角形的相似和分类讨论的数学思想解答问题．

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A．

$\frac{15}{x+1}$-$\frac{15}{x}$=$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{15}{x}-\frac{15}{x+1}=\frac{1}{2}$

C．

$\frac{15}{x-1}-\frac{15}{x}=\frac{1}{2}$

D．

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