Question

【题目】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5
①求证：AF⊥BD ②求AF的长度；

（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由

Answer 1

【答案】
（1）①证明：如图1，

在△ACE和△BCD中，

∵ ，

∴△ACE≌△BCD，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠BFE=∠ACE=90°，

∴AF⊥BD．

②∵∠ECD=90°，BC=AC=12，DC=EC=5，

∴BD= =13，

∵S△ABD= ADBC= BDAF，

即

∴AF=

（2）证明：如图4，

∵∠ACB=∠ECD，

∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△ACE≌△BCD中

∴△ACE≌△BCD，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠BFA=∠BCA=90°，

∴AF⊥BD

（3）∠AFG=45°，

如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，

∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，

∵S△ACE= AECN，

S△BCD= BDCM，

∴CM=CN，

∵CM⊥BD，CN⊥AE，

∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，

∴∠BFE=90°，

∴∠EFC=45°，

∴∠AFG=45°

【解析】（1）①证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；②根据勾股定理求出BD，利用△ABD的面积的两种表示方法，即可解答；（2）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；（3）∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD ， AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°．