Question

16．如图所示，在正方形ABCD中，E是CD上的任意一点，以AE为一边作∠EAF=45°，射线AF交BC于F点，连接EF，求证：EF=DE+BF．

Answer 1

分析 延长CB到G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，即可证得AG=AF，∠DAF=∠BAG，再证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．

解答 证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°，
∴∠ABG=90°=∠D，
∵△ABG和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠D}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠1=∠2，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠GAE=∠EAF=45°．
在△AEG和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴GE=EF，
∵GE=BG+BE，DF=BG，
∴EF=DF+BF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线，构造全等的三角形是解决问题的关键．