Question

3．如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE、AF交BD于M、N两点，连EN．
（1）若EF∥MN，则∠ANE=90°，$\frac{EF}{MN}$=$\sqrt{2}$．
（2）如图2，转动∠EAF，（1）中的结论是否仍成立？请证明．

Answer 1

分析 （1）延长CB，在CB的延长线上截取GB=DF，连接AG，由于∠DBC=∠EAF=45°，所以A、B、E、N四点共圆，然后证明△GBA≌△FDA（SAS），可知∠GAB=∠FAD，GA=AF，从而可证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，最后证明△AGE∽△AMN，即可得出$\frac{GE}{MN}$=$\frac{AE}{AN}$=$\sqrt{2}$．
（2）与（1）的证明思路相同．

解答 解：（1）延长CB，在CB的延长线上截取GB=DF，连接AG，
在正方形ABCD中，
∠DBC=45°，AB=AD，
∴∠DBC=∠EAF=45°，
∴A、B、E、N四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴由圆内接四边形性质可知：∠ANE=90°，
∵∠EAF=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
在△GBA与△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF}\\{GB=DF}\end{array}\right.$，
∴△GBA≌△FDA（SAS），
∴∠GAB=∠FAD，GA=AF，
∵∠BAE+∠FAD+∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，
即∠GAE=45°，
在△GAE与△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GA=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
由圆周角定理可知，∠AEG=∠ANM，
∵∠GAE=∠MAN，
∴△AGE∽△AMN
∴$\frac{GE}{MN}$=$\frac{AE}{AN}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{EF}{MN}$=$\sqrt{2}$，
（2）转动∠EAF时，由于AE、AF交BD于M、N两点，
延长CB，在CB的延长线上截取GB=DF，连接AG，
在正方形ABCD中，
∠DBC=45°，AB=AD，
∴∠DBC=∠EAF=45°，
∴A、B、E、N四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴由圆内接四边形性质可知：∠ANE=90°，
∵∠EAF=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
在△GBA与△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF}\\{GB=DF}\end{array}\right.$，
∴△GBA≌△FDA（SAS），
∴∠GAB=∠FAD，GA=AF，
∵∠BAE+∠FAD+∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，
即∠GAE=45°，
在△GAE与△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GA=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
由圆周角定理可知，∠AEG=∠ANM，
∵∠GAE=∠MAN，
∴△AGE∽△AMN
∴$\frac{GE}{MN}$=$\frac{AE}{AN}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{EF}{MN}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：（1）90°，$\sqrt{2}$；

点评 本题考查正方形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理、圆周角定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．