Question

18．如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=$\frac{3}{4}$OB=3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤$\frac{k}{x}$的解集；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行线分线段成比例可求得CD的长，则可求得A、B、C、的坐标，再利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案；
（3）由B、C的坐标可求得BC的长，当BC=BP时，则可求得P点坐标，当BC=PC时，可知点C在线段BP的垂直平分线上，则可求得BP的中点坐标，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{OA}{AD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2OB=8，
∵OA=OD=$\frac{3}{4}$OB=3，
∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8），
把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，
∴k=-24，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{24}{x}$；

（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段AC（包含A点，不包含C点）所对应的自变量x的取值范围，
∵C（-3，8），
∴0＜-$\frac{4}{3}$x+4≤-$\frac{24}{x}$的解集为-3≤x＜0；

（3）∵B（0，4），C（-3，8），
∴BC=5，
∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC两种情况，
①当BC=BP时，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-PB=5-4=1，
∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）；
②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，
∴线段BP的中点坐标为（0，8），
∴P点坐标为（0，12）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、函数与不等式、等腰三角形的性质、数形结合及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在（2）中注意利用数形结合思想，在（3）中确定出△PBC的两种情况是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．