Question

阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式计算时，我们有时会碰到如

5

3

，

2 3

，

2

3 +1

一样的式子，其实我们还可以将其进一步简化：

5

3

=

5× 3

3 × 3

=

5 3

3

          ①

2 3

=

2×3 3×3

=

6

3

             ②

2

3 +1

=

2( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

2( 3 -1)

( 3 )2- 1 2

=

2( 3 -1)

2

=

3

-1      ③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化，

2

3 +1

还可以用以下方法化简：

2

3 +1

=

3-1

3 +1

=

( 3 )2-12

3 +1

=

3

-1     ④
（1）请用不同的方法化简：

2

7 + 5

参照③式方法化简过程为：
参照④式方法化简过程为：
（2）化简：

2

3 +1

+

2

5 + 3

+

2

7 + 5

+…+

2

2n+1 + 2n-1

．

Answer 1

分析：（1）根据已知中的例子，③的方式是：分子、分母上同时乘以与分母构成平方差公式的式子，从而化简；
④的方式是：把2化成两个数的差，利用平方差公式分解，然后约分；
（2）根据（1）的结论，直接运用计算即可．

解答：解：（1）：参照③式方法化简过程为：原式=

2( 7 - 5 )

( 7 + 5 )( 7 - 5 )

=

7

-

5

；
参照④式方法化简过程为：原式=

7-5

7 + 5

=

( 7 + 5 )( 7 - 5 )

7 + 5

=

7

-

5

．
（2）原式=

3

-1+

5

-

3

+

7

-

5

+…+

2n+1

-

2n-1

=

2n+1

-1．

点评：本题主要考查了二次根式的化简，正确读懂题意是解题的关键．