Question

15．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E，G分别是AD，AC的中点，DF⊥BE于F，求证：FG=DG．

Answer 1

分析 先延长BE，DG交于点H，连接EG，根据等腰三角形的性质，得出BD=DC，再判定△HEG∽△HBD，并得出G为DH中点，最后根据直角三角形斜边上的中线性质，得出结论．

解答 证明：延长BE，DG交于点H，连接EG，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵E，G分别为AD，AC中点，
∴EG∥DC，EG=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$BD，
∴△HEG∽△HBD，
∴$\frac{HG}{HD}$=$\frac{EG}{BD}$=$\frac{1}{2}$，即G为DH中点，
又∵DF垂直BE于F，
∴∠DFH=90°，
∴FG=$\frac{1}{2}$DH=DG，
即FG=DG．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．