Question

6．函数y=ax²-2x+2．
（1）若对任意实数x都有y＞0成立，求实数a的范围；
（2）若对满足3＜x＜4的任意x都有y＞0成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a＞0，且△＜0，解不等式可得取值范围；
（2）由题意可得ax²-2x+2＞0，即为a＞$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$=-2[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]对3＜x＜4成立，求得右边函数的取值范围，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）∵函数y=ax²-2x+2，对任意实数x都有y＞0成立，
∴△＜0且a＞0，
∴4-8a＜0，
∴a＞$\frac{1}{2}$
则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）若对满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立，
即有ax²-2x+2＞0，即为a＞$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$=-2[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]对3＜x＜4成立，
由函数y=-2[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]在$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）递增，
即有x=3，可得-2[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]=$\frac{4}{9}$，
即有a≥$\frac{4}{9}$，
则a的范围是[$\frac{4}{9}$，+∞）．

点评 本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用讨论二次项的系数和参数分离，考查运算能力，属于中档题．