Question

在△ABC中,AB＝BC＝2,∠ABC＝120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角?(0°＜α＜90°)得△A₁BC₁,A₁B交AC于点E,A₁C₁分别交AC,BC于D,F两点．(12分)

图(a)                                     图(b)
(1)如图(a),观察并猜想,在旋转过程中,线段EA₁与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图(b),当α＝30°时,试判断四边形BC₁DA的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED的长．

Answer 1

（1）EA₁=FC．理由见解析;（2）四边形BC₁DA是菱形．理由见解析;（3）ED=2﹣．

试题分析：（1）根据等边对等角的性质可得∠A=∠C,再根据旋转的性质可得∠ABE=∠C₁BF,AB=BC=A₁B=BC₁,然后利用“角边角”证明△ABE和△C₁BF全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=BF,从而得解;
（2）先根据旋转的性质求出∠ABC₁=150°,再根据同旁内角互补,两直线平行求出AB∥C₁D,AD∥BC₁,证明四边形BC₁DA是平行四边形,又因为邻边相等,所以四边形BC₁DA是菱形;
（3）过点E作EG⊥AB于点G,等腰三角形三线合一的性质可得AG=BG=1,然后解直角三角形求出AE的长度,再利用DE=AD﹣AE计算即可得解．
试题解析：（1）EA₁=FC．理由如下：
∵AB=BC,∴∠A=∠C,
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A₁BC₁,
∴∠ABE=∠C₁BF,AB=BC=A₁B=BC₁,
在△ABE和△C₁BF中,,
∴△ABE≌△C₁BF（ASA）,
∴BE=BF,
∴A₁B﹣BE=BC﹣BF,
即EA₁=FC;
（2）四边形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵旋转角α=30°,∠ABC=120°,
∴∠ABC₁=∠ABC+α=120°+30°=150°,
∵∠ABC=120°,AB=BC,
∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°,
∴∠ABC₁+∠C₁=150°+30°=180°,
∠ABC₁+∠A=150°+30°=180°,
∴AB∥C₁D,AD∥BC₁,
∴四边形BC₁DA是平行四边形,
又∵AB=BC₁,
∴四边形BC₁DA是菱形;
（3）过点E作EG⊥AB,
∵∠A=∠ABA₁=30°,
∴AG=BG=AB=1,
在Rt△AEG中,AE=,
由（2）知AD=AB=2,
∴ED=AD﹣AE=2﹣．