Question

8．P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，PC=4，求BC的长度．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得AB=AC=BC，∠BAC=60°，则可把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD，如图2，作AE⊥CD于E，连接PD，根据旋转的性质得AP=AD=2，∠PAD=60°，CD=BP=2$\sqrt{2}$，于是可判定△APD为等边三角形，所以PD=AD=2，∠ADP=60°，接着利用勾股定理的逆定理证明∠CDP=90°，则∠ADE=30°，接下来在Rt△ADE中计算出AE=1，DE=$\sqrt{3}$，然后在Rt△ACE中利用勾股定理计算出AC即可．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD，如图2，作AE⊥CD于E，连接PD，
∴AP=AD=2，∠PAD=60°，CD=BP=2$\sqrt{2}$，
∵△APD为等边三角形，
∴PD=AD=2，∠ADP=60°，
在△PDC中，∵PD=2，CD=2$\sqrt{3}$，PC=4，
∴PD²+CD²=PC²，
∴△PCD为直角三角形，∠CDP=90°，
∴∠ADC=90°+60°=150°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=$\frac{1}{2}$AD=1，DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∴CE=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴BC=AC=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．