Question

15．如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，CN、BM交于点F．

（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）

Answer 1

分析 （1）证明△ACN≌△MCB，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠NAC=∠BMC，证明△ACE≌△MCF，根据等边三角形的判定解答；
（3）证明△ACN≌△MCB，根据全等三角形的性质判断AN=BM；根据等边三角形的性质判断△CEF不是等边三角形．

解答 （1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CB=CN，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CM}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM；
（2）证明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠NAC=∠BMC，
在△ACE和△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠MCF}\\{AC=MC}\\{∠ACE=∠MCF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△MCF，
∴CE=CF，
又∠MCN=60°，
∴△CEF为等边三角形；
（3）在图2中补出符合要求的图形如图所示：
第（1）小题的结论仍然成立，第（2）小题的结论不成立．
∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CB=CN，
∴∠ACM+90°=∠BCN+90°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CM}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM；
∵∠FCE＞90°，
∴△CEF不是等边三角形．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的三个角是60°、三条边相等、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．