Question

16．如图1，一副直角三角板满足AB=BC=10，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，将三角板DEF的直角边EF放置于三角板ABC的斜边AC上，且点E与点A重合．
操作一：固定三角板ABC，将三角板DEF沿A  C方向平移，使直角边ED刚好过B点，如图2所示；
【探究一】三角板DEF沿AC方向平移的距离为5$\sqrt{2}$；
操作二：将三角板DEF沿AC方向平移至一定位置后，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q；
【探究二】在旋转过程中，
（1）如图3，当$\frac{CE}{EA}$=1时，请判断下列结论是否正确（用“√”或“×”表示）：①EP=EQ；√
②四边形EPBQ的面积不变，且是△ABC面积的一半；√
（2）如图4，当$\frac{CE}{EA}$=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由．
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当$\frac{CE}{EA}$=m时，EP与EQ满足的数量关系式为EQ=mEP；（直接写出结论，不必证明）

Answer 1

分析 [探究一]根据等腰直角三角形“三合一”的性质推知BE是直角三角形ABC斜边AC上的中线，然后由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得BE=AE=5$\sqrt{2}$；
[探究二]（1）①连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；
②利用①中全等三角形的性质知S_△BEP=S_△CEQ，然后根据图形知S_{四边形EPBQ}=S_△ABC-S_△APE-S_△CEQ=S_△ABC-S_△APE-S_△BEP=S_△ABC-S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；
（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果．

解答 解：[探究一]如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=10，
∴AC=10$\sqrt{2}$（勾股定理）；
又∵BE⊥AC，
∴BE=AE=$\frac{1}{2}$AC=5$\sqrt{2}$（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）；
即三角板DEF沿A→C方向平移的距离为5$\sqrt{2}$；
故答案是：5$\sqrt{2}$；
            
[探究二]
（1）①如图3，连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得
∠PBE=∠C，BE=CE，
又∠BEP=∠CEQ，
则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；
故答案是：√；

②由①知，△BEP≌△CEQ，
∴S_△BEP=S_△CEQ，
∴S_{四边形EPBQ}=S_△ABC-S_△APE-S_△CEQ=S_△ABC-S_△APE-S_△BEP=S_△ABC-S_△ABE；
又∵BE是直角三角形ABC斜边AC上的中垂线，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_{四边形EPBQ}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
故答案是：√；

（2）EQ=2EP．理由如下：
如图4，过E作EM⊥BC于M，过E作EN⊥AB于N，
则EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC，EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
∵$\frac{CE}{EA}$=2，
∴$\frac{EM}{EN}$=2． 
∵∠QEM+∠MEP=∠PEN+∠MEP=90°，
∴∠QEM=∠PEN，
又∠EMQ=∠ENP，
∴△EMQ∽△ENP，
∴$\frac{EQ}{EP}$，即：EQ=2EP；

（3）由（1）知，当$\frac{CE}{EA}$=1时，EP=EQ；
由（2）知，当$\frac{CE}{EA}$=2时，EP=2EQ；
∴当$\frac{CE}{EA}$=m时，EP=mEQ；
故答案是：EQ=mEP．

点评 本题考查的是四边形综合题．熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解．