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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,点F在边BC上,联结BE、DF,DF交对角线AC于点G,且DE=DG;
(1)求证:AE=CG;
(2)求证:BE∥DF.

【答案】证明:(1)∵DE=DG,
∴∠DEG=∠DGE,
∴∠AED=∠CGD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=BC,∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°,
在△ADE和△CDG中,

∴△ADE≌△CDG(AAS),
∴AE=CG;
(2)在△BCE和△DCE中,

∴△BCE≌△DCE (SAS),
∴∠BEC=∠DEG,
∴∠BEC=∠DGE,
∴BE∥DF.
【解析】(1)先证∠AED=∠CGD,再证明△ADE≌△CDG,根据全等三角形的对应边相等即可得出结论;
(2)先证明△BCE≌△DCE,得出对应角相等∠BEC=∠DEG,得出∠BEC=∠DGE,即可证出平行线.
【考点精析】掌握正方形的性质是解答本题的根本,需要知道正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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