Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将△ABC顺时旋转90°得到△EQC，延长QE交AB于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．
（1）求证：△CDQ≌△COB；
（2）若BC=kAC（1＜k＜2为常数），求

BP

PO

．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）由旋转知△ABC≌△EQC，∠B=∠Q，CB=CQ，∠ECQ=90°．由切线知∠OCD=90°，所以∠OCB=∠DCQ，△CDQ≌△COB；
（2）设BC=a，AC=b，则AB=2AO=

a2+b2

，sinB=

AC

AB

=

b

a2+b2

．则sinQ=sinB=

b

a2+b2

．易求AP=AQ•sinQ=

ab+b2

a2+b2

=

a2-ab

a2+b2

．PO=

2ab+b2-a2

2 a2+b2

，所以

BP

PO

=

2(a2-ab)

2ab+b2-a2

=

2(k2-k)

-k2+2k+1

．

解答：（1）证明：∵由旋转知△ABC≌△EQC，
∴∠B=∠Q，CB=CQ，∠ECQ=90°．
又∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB=∠DCQ，
在△CDQ与△COB中，

∠B=∠Q CB=CQ ∠OCB=∠DCQ

，
∴△CDQ≌△COB（ASA）；

（2）设BC=a，AC=b，则AB=2AO=

a2+b2

，sinB=

AC

AB

=

b

a2+b2

．
在△APQ中，sinQ=sinB=

b

a2+b2

．
AQ=a+b．
AP=AQ•sinQ=

ab+b2

a2+b2

=

a2-ab

a2+b2

．
PO=AP-

1

2

AB=

ab+b2

a2+b2

-

a2+b2

2

=

2ab+b2-a2

2 a2+b2

，
依题意知，a=kb，
所以

BP

PO

=

2(a2-ab)

2ab+b2-a2

=

2(k2-k)

-k2+2k+1

．

点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质．解答（2）题时，是通过解直角三角形求得相关线段的数量关系的．