Question

如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；
（3）如图③，在旋转过程中，设 AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）

Answer 1

（1）DB′=EC′，
证明：如图②，
∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AE，
∵∠B′AC′=∠DAE=90°，
∴∠B′AD=∠C′AE=90°-∠DAC′，
在△B′AD和△C′AE中，
，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′．

（2）解：∵DB′∥AE，
∴∠ADB′=∠EAD=90°
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′=∠ADB′，
∴∠AEC′=90°，
即△AEC′为直角三角形，
又∵AE=AC=AC′，
∴∠EC′A=30°
∴α=90°-30°=60°．

（3）解：分为三种情况：
①当AP=DP时，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠ACP=45°，
∴α=90°-45°=45°；
②当AD=AP时，此时P和E重合，即α=0°；
③当AD=DP时，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠DPA=（180°-∠ADP）=×（180°-45°）=67.5°，
∴α=90°-67.5°=22.5°．
分析：（1）根据SAS推出△B′AD≌△C′AE，再根据全等三角形的性质推出即可．
（2）根据平行线性质得出∠B′DA=∠DAE=90°，求出AD=AB′，求出∠AB′D=30°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）分为三种情况，AP=AD，AP=DP，DP=AD，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．